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Quando consideramos funções abstratas como conjuntos de pares, é perfeitamente possível que dois valores diferentes de domínio dividam o mesmo valor de alcance. Por exemplo, observe esse conjunto onde várias frutas dividem a mesma cor.
> Cores_de_frutas := { [limão, amarelo], [uva, roxo], [banana, amarelo], [maçã,vermelho],[cereja,vermelho] };
Cores_de_frutas := {[limão, amarelo],[uva, roxo],[banana, amarelo],[maçã,vermelho],[cereja,vermelho]}
> Cores_naturais := { [grama, verde], [sapo, verde], [raposa,vermelho], [cachorro, marrom], [rato,marrom] };
Cores_naturais := {[grama, verde],[sapo, verde],[raposa,vermelho],[cachorro, marrom],[rato,marrom]}
> Classe_de_cores_de_cabelo := { [José, louro], [Beatriz,morena],[Carlos,louro],[Lúcia, cabelo_preto],[João,cabelo_preto]};
Classe_de_cores_de_cabelo := {[José,louro],[Beatriz,morena],[Carlos,louro],[Lúcia,cabelo_preto],[João,cabelo_preto]}
> Mês_tempo:= {[Janeiro, quente], [Abril, temperado],
[Junho,fresco], [Agosto, fresco], [Dezembro,quente] };
Mês_tempo := {[Janeiro,quente],[Abril,temperado],[Junho,fresco],[Agosto, fresco],[Dezembro,quente]}
Entretanto, em alguns casos especiais, cada valor de domínio pode ter um único valor de alcance. Chamamos essas funções de funções “uma a uma”. Veja alguns exemplos.
> Categoria_de_endereços := {[José,`Rua do Imperador 123`], [Beatriz, `Rua Borges de Medeiros 456`],[Carlos, `Lugar Central 1201`], [Lúcia,`Av. Paulista 3000`],[João,`Praia do Flamengo 4201`]};
Categoria_de_endereços := {[José,`Rua do Imperador 123`],[Beatriz,`Rua Borges de Medeiros 456`],[Carlos, `Lugar Central 1201`],[Lúcia,`Av. Paulista 3000`],[João,`Praia do Flamengo 4201`]};
> Carteira Identidade := {[José,12345],[Beatriz,80012], [Carlos, 11258], [Lúcia, 01248], [João, 52526 ] };
Error, invalid left hand side of assignment
Perceba que funções uma a uma de conjuntos finitos sempre têm o mesmo tamanho de domínio e alcance. Isso não é uma regra para as funções que não são uma a uma.
> Domínio(class_endereços); Imagem(class_endereços); nops(%)=
nops(%%);
{class_endereço}
{class_endereço}
1=1
> Domínio(class_Nº_ID); Imagem(class_Nº_ID); nops(%) = nops(%%);
{class_ID_números}
{class_ID_números}
1=1
Qual desses conjuntos parece apresentar funções uma a uma?
> Organizando números := { seq([k, 3*k + 2], k = 1..9) };
Error, missing operator or `;`
> Organizando números := { seq([k, 100-abs(k-5)], k = 1..9) };
Error, missing operator or `;`
> Organizando números := { seq([k, 100 + 50*(abs( k+3) – abs(k3))], k = 1..9) };
Error, missing operator or `;`
> Organizando números := { seq([k, floor( 100*sin(k*Pi/10))], k
= 1..9) };
Error, missing operator or `;`
> Organizando números := { seq([k, (k+2)^3 – 5], k = 1..9) };
Error, missing operator or `;`
2. Método Numérico
Uma função é “uma a uma” se cada valor de x tiver um único valor de y. Em outras palavras, dois valores de x não podem ter o mesmo valor de y. Nem todas as funções são uma-a-uma. Essa é uma propriedade especial que pertence apenas a um certo tipo de função. Essa propriedade é análoga ao fato de os casamentos terem de ser monogâmicos – cada pessoa pode
ter apenas um par. Enquanto uma função que não tem essa propriedade teria pelo menos dois valores diferentes de x para o mesmo valor de y, mas não uma-a-uma. Esses são alguns exemplos de funções que não são uma a uma.
Você consegue encontrar dois valores de x que tenham o mesmo valor de y?
> f:= x -> 10 – (x-5)^2:array( [[ k,f(k) ] $ k = 0..10] );
> f:= x -> abs(x-4) – abs(x-8):array( [[ k,f(k) ] $ k =0..10] );
3. Uma a uma
Essas são funções uma-a-uma. Empiricamente vamos construindo essas tabelas na base de tentativa e vamos observando se essas funções se completam uma-a-uma.
> f:= x -> 10 + (x-4)^3:array( [[ k,f(k) ] $ k = 0..10] );
> f:= x -> 2^(x-4) :array( [[ k,f(k) ] $ k = 0..10] );
> f:= x -> floor( 100/(x-5.5)):array( [[ k,f(k) ] $ k =0..10] );
4. Demonstrando uma função uma a uma.
A maneira de provar que uma função é uma a uma é considerar que dois valores diferentes de x, a e b, compartilham o mesmo y e, então, demonstrar que esses dois valores “diferentes” são na verdade o mesmo. Veja esse exemplo:
> f := x -> 100 + (3*x – 5)^3;
> f(a) = f(b);
> lhs(%) -100 = rhs(%) – 100;
Tire a raiz cúbica de cada lado…
> 3*a-5 = 3*b- 5;
> lhs(%)+5 = rhs(%) + 5;
> lhs(%)/3 = rhs(%)/3;
5. Teste da Linha Horizontal
Ao observarmos um gráfico, fica fácil percebermos se é o gráfico de uma função ou não, usando o teste da linha vertical. Em uma maneira semelhante também é possível determinar se a função é uma a uma ou não usando o teste da linha horizontal.
Teste da Linha Horizontal – (Testes Para Funções Uma-a-Uma)
Funções uma a uma são um tipo especial de funções. Cada valor de y é único para um valor
específico de x. Logo, se desenharmos uma linha horizontal, o gráfico será cruzado, no máximo,
em um ponto. Se as linhas se cruzassem em dois ou mais pontos, significaria que valores
diferentes de x compartilhariam o mesmo y – e isso significa que a função não é uma a uma.
Observe cada um dos gráficos abaixo e decida se a função é uma-a-uma ou não:
> f := x -> x^3 – 3*x^2 + x -1; plots[display]( plot( f(x), x= -2..4, y=-7..7, color = magenta, thickness=2), plot( {seq( [[-7,k/2],[7,k/2]], k = -14..14)}, x= -2..4, y=-7..7, color=green));
> f := x -> ((x+1)^2 – (x-1)^3 – 10)/3; plots[display]( plot( f(x), x= -2..4, y=-7..7, color = magenta, thickness=2),plot( {seq( [[-7,k/2],[7,k/2]], k = -14..14)}, x= -2..4, y=-7..7, color = green));
> f := x -> ((x)^2 + 4*sin(3*x)*(1+sin(x)) – 5)/2;plots[display]( plot( f(x), x= -2..2*Pi, y=-7..17, color =magenta, thickness=2),plot( {seq( [[-7,k/2],[17,k/2]], k =-14..34)}, x= -2..4, y=-7..17, color =green));
> f := x -> .1^x – 2; plots[display]( plot( f(x), x= -3..2, y=-2..6, color=magenta,thickness=2),plot( {seq([[-7,k/4],[17,k/4]], k = -8..24)}, x= -3..2, y=-2..6, color=green));
> f := x -> (5^x – 3^x – 2^x); plots[display]( plot( f(x), x= -3..2, y=-2..6, color = magenta, thickness=2), plot( {seq( [[-7,k/4],[17,k/4]], k = -8..24)}, x= -3..2, y=-2..6, color=green));
