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Desde ja, é necessário salientar a importância de se estudar as propridades das funções matemáticas, visto que, dependendo da natureza da função, ela demonstrará certos padrões de comportamento interessantíssimos para o aprendizado acerca do tema.

Em síntese, a partir de suas propriedades, podemos classificar as funções separando-as à partir dos seus tipos:

→ Injetora

Também chamada injetiva, esse tipo de função relaciona cada elemento y do conjunto de contradomínio apenas com um único elemento respectivo no conjunto de domínio A . Dessa forma, um valor unitário pertencente à imagem, poderá ser gerado, através da função, somente através do seu elemento x correspondente.

es de função: injetora

Observe que as propriedades de funções injetivas aparecem em algumas das funções mais conhecidas, como a logarítmica e a exponencial, que poderá ser vista a seguir: 

Nesse sentido, ao analisar o comportamento do desenho do gráfico, fica fácil identificar que cada elemento no eixo y está relacionado apenas com um elemento no eixo x, independente dos coeficientes a e c escolhidos, comportamento típico de uma função injetiva.

→ Sobrejetora

Também conhecida como sobrejetiva, esse tipo de funçao irá relacionar todos os elementos do grupo B com pelo menos um elemento do domínio. De forma que a imagem compreende todo o conjunto de contradomínio. 

Ilustração das propriedades de funções: sobrejetora

Além disso, esse tipo de propriedade vai variar conforme a arbitrariedade de escolha para o contradomínio. Por exemplo, a função f(x) = x², é geralmente não sobrejetora, porém tem comportamento de sobrejetora se escolhermos apenas os números reais positivos como contradomínio, pois assim a imagem da função irá compreender todos os elementos do conjunto.

De forma similar podemos enxergar as funções trigonométricas seno e cosseno. Pois para um contradomínio definido entre [-1,1], essas funções terão comportamento de funções sobrejetoras.

Bijetora

À primeira vista, uma função bijetora, ou bijetiva, é justamente quando obedece às duas condições já citadas. Sendo ao mesmo tempo sobrejetora e injetora.

funções trigonométricas

Todavia, um exemplo perfeito de uma função bijetora é a famosa função afim, ou função de primeiro grau, vista a seguir:

Observe que, a função exposta acima demonstra o comportamento de uma função sobrejetora, pois a imagem compreende toda a reta real. Além disso, demonstra comportamento de função injetora também, pois cada elemento em x possui apenas um respectivo elemento em y.

Não injetiva e não sobrejetiva

Analogamente, existem também funções que não são enquadradas em nenhuma dessas propriedades de funções. Nesse sentido, as imagens dessas funções não irão compreender todo os seus contradomínios, sendo assim uma função não sobrejetiva. Assim como, um elemento presente na imagem pode estar sendo gerada por dois diferentes elementos x, se tornando também uma função não injetiva.

Um belo exemplo é a função de segundo grau: 

Por fim, analisando o desenho do gráfico, fica perceptível o comportamento não sobrejetivo e não injetivo da função quadrática, independente dos seus coeficientes. Observe que a imagem não compreende toda a reta real, ao passo que dois valores de x geram a mesma imagem, por se tratar de uma função de segundo grau, não sendo portanto, nem sobrejetiva nem injetiva. 

Referências

TRICHES, F.; LIMA, H.G.G. Pré Calculo: um livro colaborativo. Online, 22 de março de 2022. Disponível em: 

https://www.ufrgs.br/reamat/PreCalculo/livro/livro.pdf

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