• 24 98882-6139

Lançamento de projeteis

O movimento desempenhado por um lançamento de projeteis podem ser decompostos em dois movimentos distintos, um horizontal e outro vertical, o que permite seu estudo com grande facilidade. Ao lançar uma pedra do alto de um edifício se caracteriza um lançamento de projeteis por exemplo.

Lançamento Horizontal

Quando um corpo é lançado horizontalmente, no vácuo, seu movimento é composto de um movimento horizontal uniforme e de um movimento vertical, naturalmente acelerado, como resultado descreve uma trajetória parabólica. Podemos simplesmente usar as equações do movimento uniforme na horizontal e as equações do movimento uniformemente acelerado (com aceleração da gravidade g) para o movimento vertical, como estudamos na “queda livre”. Vamos trabalhar com dois eixos, x e y, como na figura a seguir.

lançamento de projetil

A velocidade em cada ponto é tangente à trajetória sendo que a componente horizontal, V_0, permanece constante enquanto a componente vertical V_y aumenta de acordo com a aceleração g, conforme ilustrado na figura a seguir.

Dinâmica de velocidade de um lançamento

Na horizontal temos um movimento uniforme onde a velocidade é V_x = V_0 = constante e a coordenada x é dada por x = V_0t. Na vertical temos um movimento de queda livre, assim a velocidade varia de acordo com V_y = gt e a coordenada y é dada por y = \frac{gt^2}{2}.

Alcance

Quando um corpo é lançado horizontalmente a partir de uma altura h do solo uma equação bastante útil é a do alcance, que nos dá a coordenada x que resulta na posição onde o corpo cairá. Onde o alcance é dado por  A=V_0\sqrt{\frac{2h}{g}}.

Exemplo: Uma bola de tênis é lançada horizontalmente do alto de um edifício, com uma velocidade inicial de 5 m/s Desprezando a resistência do ar e supondo g = 9,8m/s^2, calcule:

a) a posição da pedra 2 segundos após o lançamento;

A posição é dada pelas coordenadas horizontal x, e vertical y.

x=V_0t =5×2=10 m

\frac{gt^2}{2}=\frac{9,8x2^2}{2}=19,6

b) a velocidade da pedra nesse instante.

Para calcular a velocidade precisamos calcular suas componentes V_x e V_y.

V_x=V_0\to V_x=5m/s\\

V_y=gt=9,8x2\to V_y=19,6m/s\\

V=\sqrt{V_X^2+V_Y^2}=\sqrt{5^2+19,6^2}=20,23m/s

 

Exemplo 2 Um avião de salvamento, voando horizontalmente a 720 m de altitude com velocidade constante de 50 m/s, deixa cair um pacote com medicamentos e víveres para um grupo de pessoas no solo. A que distância, medida na horizontal, o pacote deve ser abandonado do avião para alcançar as pessoas? (O alcance). Desprezar a resistência do ar.

A distância horizontal que o pacote irá percorrer é dada por x = A = V_0t (MU) onde o tempo é igual ao tempo que o pacote leva para cair. Calculemos então o tempo de queda. Na direção vertical temos “queda livre” (MUV) com aceleração g. Assim: Logo, para esse tempo, o pacote andará na horizontal uma distância de: A = V0t = 50 × 12 ⇒ A = 600 m. E o pacote deve ser abandonado a 600 m antes do grupo de pessoas, na direção horizontal. Obs.: Poderíamos também ter utilizado a equação do alcance. Verifique você esta possibilidade!

h=\frac{gt^2}{2} \to t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=t=\sqrt{\frac{2x720}{9,8}}=\sqrt{146,94}\approx\sqrt{144}=12s

Lançamento Oblíquo

O lançamento oblíquo ou parabólico é um caso especifico de lançamento de projeteis. Ocorre quando um corpo qualquer é arremessado a partir do chão e forma um determinado ângulo com relação à horizontal. O movimento executado por um atleta da modalidade do salto em distância e a trajetória adquirida por uma bola de golfe, por exemplo.

Lançamento oblíquo desempenhado por uma bola de golf.

No lançamento oblíquo, o movimento dos objetos é composto por um deslocamento da vertical e outro horizontal. Assim, ao mesmo tempo em que o objeto vai para frente, ele sobe e desce. O vetor velocidade do corpo a ser lançado forma um determinado ângulo em relação à horizontal. Por essa razão, decompondo-se o vetor, as velocidades horizontal (vX) e vertical (vY) podem ser determinadas. A partir do conhecimento de decomposição vetorial, podemos escrever que:

V_X=Vcos(\theta) \\ V_Y=Vsen(\theta)

Nas definições acima, θ é o ângulo formado entre o vetor velocidade e a horizontal.

Bola é lançada com velocidade inicial V0 fazendo um ângulo α com a horizontal.

Movimento na vertical

O movimento executado pelo corpo na vertical está sob influência da aceleração da gravidade. Assim, ele pode ser classificado como um movimento retilíneo uniformemente variado. A partir da equação de Torricelli, é possível determinar a altura máxima atingida pelo objeto lançado obliquamente.

V^2=V_0^2+2\cdot a\cdot \Delta S

Aplicando a equação acima para o lançamento oblíquo, podemos escrever que:

V^2=V_0^2-2\cdot g\cdot H

Neste paragrafo, vale ressaltar que o sinal negativo da equação acima se deve ao fato de o movimento ser ascendente e o vetor da aceleração da gravidade apontar na vertical para baixo. A diferença de sentido entre deslocamento e aceleração faz com que o sinal dessa grandeza seja negativo. A altura (H) corresponde ao deslocamento (ΔS) e as velocidades consideradas são as componentes inicial e final do vetor velocidade no eixo y. Assim, podemos determinar a altura máxima de um objeto durante um lançamento oblíquo da seguinte forma:

Movimento horizontal

Horizontalmente o corpo não sofre influência de aceleração, por isso, o movimento é classificado como retilíneo e uniforme. A partir da função horária da posição para o movimento retilíneo uniforme, podemos definir o alcance horizontal do objeto.

S=S_0+V_X\cdot t \\ S-S_0=V_X\cdot t \\ A=V\cdot cos(\theta)\cdot t

Observe que a diferença entre a posição final (s) e a posição inicial (s0) foi chamada de A e representa o alcance horizontal de um corpo em lançamento oblíquo. O tempo considerado deve ser o tempo total gasto para que o objeto chegue à altura máxima e retorne ao solo. No estudo do lançamento vertical (queda livre), o tempo de subida (tS) até a altura máxima para um objeto em movimento ascendente é dado pela razão da velocidade no eixo y com a aceleração da gravidade. Sendo assim, podemos escrever:

t_s=\frac{V_y}{g} \to t_s=\frac{V\cdot sen(\theta)}{g}

Uma vez que o objeto retorna ao solo, o valor a ser considerado é o dobro do tempo de subida. Assim, podemos escrever:

t=\frac{2V\cdot sen(\theta)}{g}

Aplicando a definição do tempo total à equação do alcance máximo, teremos:

t_s=\frac{2V^2\cdot cos(\theta)\cdot sen(\theta)}{g}\\ t_s=\frac{2V^2\cdot sen(2\theta)}{g}

Ângulo de lançamento

O máximo alcance adquirido por um corpo, em função de sua velocidade inicial e da aceleração da gravidade, é determinado quando o valor atribuído a sen2θ é o maior possível. O máximo valor de seno é 1 e corresponde ao ângulo de 90°. Sendo assim, quando o ângulo de lançamento é 45°, o valor do seno contabilizado é o seno de 90° (sen2.45º = sen90º = 1), e o alcance é o máximo possível.

A figura acima indica os alcances horizontais referentes a distintos ângulos iniciais de lançamento. Nas modalidades esportivas de salto em distância, lançamento de peso, lançamento de martelo e lançamento de dardo, o objetivo do atleta é alcançar a maior distância horizontal possível. Os atletas treinam para que o ângulo de lançamento dos objetos seja o mais próximo possível de 45° para que, assim, o alcance do objeto arremessado seja o máximo possível.

O Tempo de Subida e o Tempo de Descida Temos que o tempo de subida é igual ao tempo de descida, pois tanto as distâncias como as acelerações são as mesmas. Concluindo que o tempo total do lançamento é a soma dos dois. Temos:

t_{subida} = \frac{V_0 sen \alpha}{g} t_{total} = 2\cdot \frac{V_0 sen \alpha}{g} h_{max} = \frac{(V_0 sen \alpha)^2}{2g}

Exemplo 3 Um projétil é lançado do solo para cima, segundo um ângulo de 60º com a horizontal, com velocidade de 400 m/s. Calcule o que se pede: Dados: aceleração da gravidade g = 9,8 m/s2 , sen 60º = \frac{\sqrt{3}}{2} e cos 60º = \frac{1}{2}

a) O tempo para o corpo atingir a altura máxima.

t_{subida} = \frac{V_0 sen \alpha}{g}=\frac{400\frac{\sqrt{3}}{2}}{9,8}=\frac{400\sqrt{3}}{2x9,8}=35,35s

b) A Altura máxima.

h_{total} = \frac{[V_0 sen \alpha]^2}{2\cdot g}=6122,45m

c) O tempo para voltar ao solo.

t_{total}=2\cdot t_{subida}=35,35x2=70,7

d) O alcance.

A=V_0\cdot cos \alpha\cdot  t_{total}=400\cdot \frac{1}{2}\cdot 70,7=14140 m

e) A velocidade no instante t = 8 s.

A velocidade em t = 8 s. Para calcularmos a velocidade temos que calcular Vx e Vy.

V_X=V_0 cos \alpha = 400\cdot \frac{1}{2}=200m/s\\ V_Y=V_0 sen \alpha -gt =400\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-9,8\cdot 8=268,01m/s

Pela lei de pitagora:

V^2=V_X^2+V_Y^2=200^2+268,01^2\to 334,41 m/s

f) A posição do corpo também em t = 8 s.

A posição em t = 8 s. Temos que calcular x e y em t = 8 s.

x=V_0cos\alpha\cdot  t =400 x \frac{1}{2}\cdot 8=1600m\\ y=V_0sen\alpha\cdot  t -\frac{gt^2}{2}=400\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 8-\frac{9,8\cdot 8^2}{2}=2457,68m/s

Laboratório didático

Em primeiro lugar exploremos este aplicativo matemático, nele vê-se exemplos de Lançamento Oblíquo. Busca-se determinar como cada parâmetro afeta a trajetória de um objeto. É possível prever como a variação das condições iniciais afetará o caminho de um projétil por exemplo. Importante que se possa fornecer uma explicação e fazer uma previsão de onde um objeto irá pousar, dadas as suas condições iniciais. 

Atividades sobre Lançamento de projeteis

Agora aplicando os conceitos de lançamento de projeteis aprendidos anteriormente. No aplicativo acima selecione a opção Lab posicione a altura do canhão em 9m ,g=9,8m/s², angulo de disparo 0º e responda: 

desprezando a resistência do ar .(Tome dados de todas as experimentações feitas)

a) Qual a velocidade necessitaria, para que o projetil atinja o alvo (A = 15m)?

A=V_0\cdot \sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}\\ 15m=V_0\cdot \sqrt{\frac{2\cdot 9m}{9,8m/s^2}}\\ V_0=?

b) Mude o peso e as dimensões do projetil.

c) Posicione o Cronometro no projetil, ao final do trajeto. Calcule o tempo ate atingir o alvo.

h=\frac{gt^2}{2}\\ 9=\frac{9,8\cdot t^2}{2}\\ \sqrt{\frac{9\cdot 2}{9,8}}=t\\ t =?

Aplicando os conceitos de lançamento de projeteis aprendidos anteriormente. No aplicativo acima selecione a opção Lab posicione a altura do canhão em 0m ,g=9,8m/s², angulo de disparo 60º, descubra a velocidade necessária para alcançar o alvo (posicione em 20m) e responda: 

desprezando a resistência do ar.

d) Posicione o Cronometro no projetil, ao final do trajeto. Calcule o tempo ate atingir o alvo. [2,65s]

e)Calcule a altura máxima.[8,61m]

f) Mude o angulo de lançamento como quiser. Verifique qual a velocidade para que o projetil atinja o alvo.

 

Exercícios

1) Uma esfera rola com velocidade constante de 10 m/s sobre uma mesa horizontal. Ao abandonar a mesa, ela fica exclusivamente sob ação da gravidade (g = 10 m/s²) e atinge o solo em um ponto situado a 5,0 m da borda da mesa. Determine: 

a) O tempo de Queda.

b) A Altura da mesa.

c) A velocidade da esfera ao atingir ao solo. 

Resp. a) 0,50 s; b) 1,25 m; c) 11,2 m/s.

2) Um avião voa horizontalmente a 2,0 x 10³ m de altura com velocidade de 2,5 x 10² m/s no instante em que abandona um objeto. Determine: 

a) O tempo de Queda do objeto.

b) A distância que o objeto percorre na horizontal até atingir o solo.

c) A velocidade do objeto ao tocar o solo. Considere desprezível a resistência do ar e g = 10 m/s2. 

Resp. a) 20 s; b) 5,0 x 10³m ;c) 3,2 x 10² m/s. 

3) Um corpo é lançado obliquamente no vácuo com velocidade inicial 100 m/s, numa direção que forma com a horizontal um ângulo θ tal que senθ = 0,80 e cosθ = 0,60. Adotando g = 10 m/s², determine: 

a) Os valores das componentes horizontal e vertical da velocidade no instante de lançamento.

b) A altura máxima atingida pelo corpo.

c) O alcance máximo. 

Resp. a) v0x = 60 m/s e v0y = 80 m/s; b) 320 m; c) 960 m.

4) Um projétil lançado obliquamente a partir do solo descreve uma trajetória parabólica tocando o solo novamente num ponto situado 10 m do ponto de lançamento. Sendo 10 m/s o menor valor da velocidade durante o trajeto, determine a duração do movimento. Despreze a ação do ar e adote g = 10 m/s². Resp. 1,0 s

5) De um ponto situado a 125 m acima do solo, lança-se um corpo, horizontalmente, com velocidade inicial igual a 20 m/s. Determine: a) O módulo da velocidade do corpo 3,0 s após o lançamento. 

b) A posição do corpo neste instante.

c) O tempo gasto pelo corpo para atingir o solo.

d) O alcance.

6) Lança-se um projétil com velocidade inicial de 50 m/s, formando um ângulo α acima da horizontal (sen = 0,60 e cosα = 0,80). Considerando g = 10 m/s² e desprezando a resistência do ar, pede-se: a) O módulo da velocidade do projétil 2,0 s após o lançamento.

b) A posição do projétil no mesmo instante.

c) O tempo gasto para atingir a altura máxima.

d) A Altura máxima. 

e) O alcance. 

7) Um projétil é lançado de um ponto situado a 35 m do chão plano e horizontal, com velocidade inicial de 50 m/s, formando um ângulo α acima da horizontal (senα = 0,60 e cosα = 0,80). Considere g = 10 m/s² e despreze a resistência do ar. Determine: a) o tempo gasto para o projétil atingir o solo.

b) o alcance. 

8) Lança-se um projétil com velocidade inicial de 100 m/s, formando um ângulo de 30º acima da horizontal. Considere g = 10 m/s² e despreze a resistência do ar. Depois de quanto tempo ele passará por um ponto da sua trajetória situado a 80 m (distância vertical) acima do ponto de lançamento?

Referências

 Francisco Ramalho Júnior, Nicolau Gilberto Ferraro, Paulo, Os fundamentos da Física – Volume 3 – Os fundamentos da Física | Editora Moderna9ª edição, 2020.

LEITE, Carlos Alberto Faria; COSTA, EdEn ViEira. Fundação Cecierj Pré-VEstibular soCial. 2015.

PHET, Kit para Montar Circuito AC – Circuito RLC | Circuitos de Corrente Alternada | Lei de Kirchoff – Simulações Interativas PhET (colorado.edu), acessado em: 30/05/2022.

Deixe um comentário

O seu endereço de e-mail não será publicado.